BZOJ1057【ZJOI2007】棋盘制作 < 悬线法DP >

Problem

【ZJOI2007】棋盘制作

$\mathrm{Time\;Limit:\;20\;Sec}$
$\mathrm{Memory\;Limit:\;162\;MB}$

Description

国际象棋是世界上最古老的博弈游戏之一，和中国的围棋、象棋以及日本的将棋同享盛名。据说国际象棋起源于易经的思想，棋盘是一个$8\times8$大小的黑白相间的方阵，对应八八六十四卦，黑白对应阴阳。而我们的主人公$\mathrm{小Q}$，正是国际象棋的狂热爱好者。作为一个顶尖高手，他已不满足于普通的棋盘与规则，于是他跟他的好朋友$\mathrm{小W}$决定将棋盘扩大以适应他们的新规则。
$\mathrm{小Q}$找到了一张由$N\times M$个正方形的格子组成的矩形纸片，每个格子被涂有黑白两种颜色之一。$\mathrm{小Q}$想在这种纸中裁减一部分作为新棋盘，当然，他希望这个棋盘尽可能的大。不过$\mathrm{小Q}$还没有决定是找一个正方形的棋盘还是一个矩形的棋盘（当然，不管哪种，棋盘必须都黑白相间，即相邻的格子不同色），所以他希望可以找到最大的正方形棋盘面积和最大的矩形棋盘面积，从而决定哪个更好一些。于是$\mathrm{小Q}$找到了即将参加全国信息学竞赛的你，你能帮助他么？

Input

第一行包含两个整数$N$和$M$，分别表示矩形纸片的长和宽。
接下来的$N$行包含一个$N\times M$的$01$矩阵，表示这张矩形纸片的颜色（$0$表示白色，$1$表示黑色）。

Output

包含两行，每行包含一个整数。
第一行为可以找到的最大正方形棋盘的面积；
第二行为可以找到的最大矩形棋盘的面积。

Sample Input

3 3
1 0 1
0 1 0
1 0 0

Sample Output

4
6

HINT

$N,M\le2000$

标签：悬线法DP

Solution

经典悬线法$\mathrm{DP}$。

用$s_{ij},t_{ij}$表示从$(i,j)$向左/右以$01$交错的形式最远能延长到的位置，显然这两个数组可以$O(nm)$预处理。
对于位置$(i,j)$，用$l_{ij}$表示从$(i,j)$向上走，最多以$01$交错的形式走多远，显然也是可以$O(nm)$预处理的。而由这个值可知$a_{i-l_{ij}+1,j}\sim a_{i,j}$呈$01$交错的形式，若以其为棋盘的高，则宽为

$$\min_{k=i-l_{ij}+1}^{i}\lbrace t_{kj}\rbrace-\max_{k=i-l_{ij}+1}^{i}\lbrace s_{kj}\rbrace$$

那么在预处理$l_{ij}$的同时，我们对可以连在一起的横行求$t$的最小值和$s$的最大值，即若$a_{i,j}\ne a_{i-1,j}$，则

$$s_{ij}=\max(s_{ij},s_{i-1\;j})\\ t_{ij}=\min(t_{ij},t_{i+1\;j})\\$$

最后枚举每个位置，求以其所在纵行为起点向左右扩展的最大矩形即可得到答案。
对于最大正方形，易知其由宽与高的最小值最大的矩形裁截而来，于是对每个极大矩形求其包含的最大正方形并取最大值即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
template <class T> inline void read(T &x) {
    x = 0; int c = getchar(), f = 1;
    for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == 45) f = -1;
    for (; isdigit(c); c = getchar()) (x *= 10) += f*(c-'0');
}
int n, m, mx1, mx2, a[2005][2005];
int s[2005][2005], t[2005][2005], l[2005][2005];
int main() {
    read(n), read(m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= m; j++)
        read(a[i][j]), s[i][j] = t[i][j] = j, l[i][j] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 2; j <= m; j++)
            if (a[i][j]^a[i][j-1]) s[i][j] = s[i][j-1];
        for (int j = m-1; j; j--)
            if (a[i][j]^a[i][j+1]) t[i][j] = t[i][j+1];
    }
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            if (a[i][j]^a[i-1][j])
                l[i][j] += l[i-1][j], 
                s[i][j] = max(s[i][j], s[i-1][j]), 
                t[i][j] = min(t[i][j], t[i-1][j]);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            int r = l[i][j], c = t[i][j]-s[i][j]+1;
            mx1 = max(mx1, min(r, c)*min(r, c));
            mx2 = max(mx2, r*c);
        }
    return printf("%d\n%d\n", mx1, mx2), 0;
}