BZOJ2306【CTSC2011】幸福路径 <概率DP>

Posted on Symbols count in article: 994 Reading time ≈ 4 mins.

Problem

【CTSC2011】幸福路径

Time  Limit:  10  Sec\mathrm{Time\;Limit:\;10\;Sec}
Memory  Limit:  256  MB\mathrm{Memory\;Limit:\;256\;MB}

Description

有向图GG有nn个顶点1,2,⋯ ,n1,2,\cdots,n，点ii的权值为wiw_i。现在有一只蚂蚁，从给定的起点v0v_0出发，沿着图GG的边爬行。
开始时，它的体力为11。每爬过一条边，它的体力都会下降为原来的pp倍，其中pp是一个给定的小于11的正常数。而蚂蚁爬到某个顶点时的幸福度，是它当时的体力与该点权值的乘积。
我们把蚂蚁在爬行路径上幸福度的总和记为HH。很显然，对于不同的爬行路径，HH的值也可能不同。小Z\mathrm{小Z}对HH值的最大可能值很感兴趣，你能帮助他计算吗？
注意，蚂蚁爬行的路径长度可能是无穷的。

Input

每一行中两个数之间用一个空格隔开。
输入文件第一行包含两个正整数n,mn,m，分别表示GG中顶点的个数和边的条数。
第二行包含nn个非负实数，依次表示nn个顶点权值w1,w2,⋯ ,wnw_1,w_2,\cdots,w_n。
第三行包含一个正整数v0v_0，表示给定的起点。
第四行包含一个实数pp，表示给定的小于11的正常数。
接下来mm行，每行两个正整数x,yx,y，表示<x,y><x,y>是G的一条有向边。
可能有自环，但不会有重边。

Output

仅包含一个实数，即HH值的最大可能值，四舍五入到小数点后一位。

Sample Input

1
2
3
4
5
6
7
8
9
5 5
10.0 8.0 8.0 8.0 15.0
1 
0.5
1 2
2 3
3 4
4 2
4 5

Sample Output

1
18.0

HINT

对于100%100\%的数据，n≤100n\le100，m≤1000m\le1000，p<1p<1，wi≤100  (i=1,2,⋯ ,n)w_i\le100\;(i=1,2,\cdots,n)。

Source

Day 1

标签：概率DP

Solution

有点烦人的期望DP\mathrm{DP}，为什么那么多人用倍增Floyed\mathrm{Floyed}水过去…

以下做法转自将狼踩尽19891101的博客。

观察可知最后一定是走了一条链或一个环或一条链和一个环，所以分开DP\mathrm{DP}出链和环的最大幸福度。设f[i][j][k]f[i][j][k]表示从jj走ii步到kk的最大幸福度，那么f[i][j][j]f[i][j][j]表示的情况一定是在环上绕了若干圈造成的。可知绕了这么多圈没有再次到jj的最大幸福度为f[i][j][j]−aj×pif[i][j][j]-a_j\times p^i。
令x=f[i][j][j]−aj×pix=f[i][j][j]-a_j\times p^i，则在这个环上无限绕下去的最大幸福度为

g[j]=x+x⋅pi+x⋅p2i+⋯=x⋅(1+pi+p2i+⋯ )=x1−pi=f[i][j][j]−aj×pi1−pi\begin{aligned} g[j] &=x+x\cdot p^i+x\cdot p^{2i}+\cdots\\ &=x\cdot(1+p^i+p^{2i}+\cdots)\\ &=\frac{x}{1-p^i}\\ &=\frac{f[i][j][j]-a_j\times p^i}{1-p^i}\\ \end{aligned}

那么从SS走ii步到jj再从jj开始绕环的最大幸福度为f[i][S][j]−a[j]×pi+g[j]×pif[i][S][j]-a[j]\times p^i+g[j]\times p^i，最终答案为这个值的最大值。

Code

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
#include <bits/stdc++.h>
#define MAX_N 100
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef double dnt;
template <class T> inline void read(T &x) {
    x = 0; int c = getchar(), f = 1;
    for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == 45) f = -1;
    for (; isdigit(c); c = getchar()) (x *= 10) += f*(c-'0');
}
int n, m, s, u[1005], v[1005];
dnt p, w[105], pw[105], ans;
dnt f[105][105][105], g[105];
int main() {
    read(n), read(m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lf", w+i);
    read(s), scanf("%lf", &p), pw[0] = 1.0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) pw[i] = pw[i-1]*p;
    for (int i = 1; i <= m; i++) read(u[i]), read(v[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= n; j++)
        for (int k = 0; k <= n; k++) f[i][j][k] = -INF;
    for (int i = 1; i <= n; i++) f[i][i][0] = g[i] = w[i];
    for (int stp = 1; stp <= n; stp++) for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= m; j++)
        f[i][v[j]][stp] = max(f[i][v[j]][stp], f[i][u[j]][stp-1]+w[v[j]]*pw[stp]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) for (int stp = 1; stp <= n; stp++)
        g[i] = max(g[i], (f[i][i][stp]-w[i]*pw[stp])/(1-pw[stp]));
    for (int i = 1; i <= n; i++) for (int stp = 1; stp <= n; stp++)
        ans = max(ans, f[s][i][stp]-w[i]*pw[stp]+g[i]*pw[stp]);
    return printf("%.1lf\n", ans), 0;
}