BZOJ2756【SCOI2012】奇怪的游戏 <二分答案+网络流>

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Problem

【SCOI2012】奇怪的游戏

Time  Limit:  40  Sec\mathrm{Time\;Limit:\;40\;Sec}
Memory  Limit:  128  MB\mathrm{Memory\;Limit:\;128\;MB}

Description

Blinker\mathrm{Blinker}最近喜欢上一个奇怪的游戏。
这个游戏在一个N×MN\times M的棋盘上玩，每个格子有一个数。每次Blinker\mathrm{Blinker}会选择两个相邻的格子，并使这两个数都加上11。
现在Blinker\mathrm{Blinker}想知道最少多少次能使棋盘上的数都变成同一个数，如果永远不能变成同一个数则输出−1-1。

Input

输入的第一行是一个整数TT，表示输入数据有TT轮游戏组成。
每轮游戏的第一行有两个整数NN和MM， 分别代表棋盘的行数和列数。
接下来有NN行，每行MM个数。

Output

对于每个游戏输出最少能使游戏结束的次数，如果永远不能变成同一个数则输出−1-1。

Sample Input

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2 
2 2 
1 2 
2 3 
3 3 
1 2 3
2 3 4
4 3 2

Sample Output

1
2
2
-1

HINT

对于30%30\%的数据，保证T≤10,  1≤N,M≤8T\le10,\;1\le N,M\le8
对于100%100\%的数据，保证T≤10,  1≤N,M≤40T\le10,\;1\le N,M\le40，所有数为正整数且小于10910^9

标签：网络流 黑白染色 二分答案

Solution

黑白染色，两色个数为c1c_1和c2c_2，两色初始数字和为s1s_1和s2s_2。则有

c1×x−s1=c2×x−s2(c1−c2)×x=s1−s2c_1\times x-s_1=c_2\times x-s_2\\ (c_1-c_2)\times x=s_1-s_2\\

当c1≠c2c_1\ne c_2时，可以直接解出xx，这时网络流checkcheck一下是否可能达到即可。
当c1=c2c_1=c_2时，每次操作都会使一定能在某一基础上将所有格子都+1+1，那么所有大于等于最小xx的值都可以达到，具有二分性。那么二分xx，网络流checkcheck即可。

对于网络流checkcheck，建图如下：

  • 对于白格ii，连接S→i  [cap=x−vali]S\to i\;[cap=x-val_i]
  • 对于黑格ii，连接i→T  [cap=x−vali]i\to T\;[cap=x-val_i]
  • 对于每组相邻点x,yx,y，连接x→y  [cap=∞]x\to y\;[cap=\infty]

再计算一个tot=所有白格的值与x的差之和tot=所有白格的值与x的差之和
若最大流=tot最大流=tot，则当前xx可行。

Code

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#include <bits/stdc++.h>
#define MAX_N 2000
#define MAX_M 20000
#define INF (1LL<<50)
#define mid ((l+r)>>1)
using namespace std;
typedef long long lnt;
template <class T> inline void read(T &x) {
    x = 0; int c = getchar(), f = 1;
    for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == 45) f = -1;
    for (; isdigit(c); c = getchar()) (x *= 10) += f*(c-'0');
}
int nxt[4][2] = {{0, 1}, {1, 0}, {0, -1}, {-1, 0}};
int n, m, s, t, cnt, d[MAX_N+5], pr[MAX_N+5], cr[MAX_N+5];
struct node {int v, nxt; lnt c;} E[MAX_M+5];
int col[50][50], c0, c1; lnt a[50][50], s0, s1, mx;
int p(int x, int y) {return x*m-m+y;}
void init() {s = 0, t = n*m+1, cnt = 0, memset(pr, -1, sizeof pr);}
void insert(int u, int v, lnt c) {E[cnt] = (node){v, pr[u], c}, pr[u] = cnt++;}
void addedge(int u, int v, lnt c) {insert(u, v, c), insert(v, u, 0);}
bool BFS() {
    queue <int> que;	que.push(s);
    memset(d, -1, sizeof d), d[s] = 0;
    while (!que.empty()) {
        int u = que.front();	que.pop();
        for (int i = pr[u]; ~i; i = E[i].nxt) {
            int v = E[i].v;	lnt c = E[i].c;
            if (~d[v] || !c) continue;
            d[v] = d[u]+1, que.push(v);
        }
    }
    return ~d[t];
}
lnt DFS(int u, lnt flow) {
    if (u == t) return flow;	lnt ret = 0;
    for (int &i = pr[u]; ~i; i = E[i].nxt) {
        int v = E[i].v;	lnt c = E[i].c;
        if (d[u]+1 != d[v] || !c) continue;
        lnt tmp = DFS(v, min(flow, c));
        E[i].c -= tmp, E[i^1].c += tmp;
        flow -= tmp, ret += tmp;
        if (!flow) break;
    }
    if (!ret) d[u] = -1;	return ret;
}
void cpy() {for (int i = s; i <= t; i++) cr[i] = pr[i];}
void rec() {for (int i = s; i <= t; i++) pr[i] = cr[i];}
lnt Dinic() {lnt ret = 0; cpy(); while (BFS()) ret += DFS(s, INF), rec(); return ret;}
bool chk(lnt x) {
    init();	lnt tot = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) if (col[i][j])
            addedge(s, p(i, j), x-a[i][j]), tot += x-a[i][j];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) if (!col[i][j])
            addedge(p(i, j), t, x-a[i][j]);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) if (col[i][j])
            for (int k = 0; k < 4; k++) {
                int x = i+nxt[k][0], y = j+nxt[k][1];
                if (x < 1 || x > n || y < 1 || y > m) continue;
                addedge(p(i, j), p(x, y), INF);
            }
    return Dinic() == tot;
}
lnt bi_search(lnt l, lnt r) {
    lnt ret = -1;
    while (l <= r)
        if (!chk(mid)) l = mid+1;
        else ret = mid, r = mid-1;
    return ret;
}
void color() {
    mx = c0 = c1 = s0 = s1 = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            col[i][j] = (i+j)&1, 
            (col[i][j] ? c1++ : c0++);
}
int main() {
    int T;	read(T);
    while (T--) {
        read(n), read(m), color();
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= m; j++)
                read(a[i][j]), mx = max(mx, a[i][j]), 
                (col[i][j] ? s1 += a[i][j] : s0 += a[i][j]);
        if (c0^c1) {
            if ((s0-s1)/(c0-c1) >= m && chk((s0-s1)/(c0-c1)))
                printf("%lld\n", (s0-s1)/(c0-c1)*c0-s0);
            else puts("-1");
        } else {
            if (s0^s1) puts("-1");
            else printf("%lld\n", bi_search(mx, INF)*c0-s0);
        }
    }
    return 0;
}