BZOJ3033 太鼓达人 <欧拉回路>

Problem

太鼓达人

$\mathrm{Time\;Limit:\;1\;Sec}$
$\mathrm{Memory\;Limit:\;128\;MB}$

Description

七夕祭上，$\mathrm{Vani}$牵着$\mathrm{cl}$的手，在明亮的灯光和欢乐的气氛中愉快地穿行。这时，在前面忽然出现了一台太鼓达人机台，而在机台前坐着的是刚刚被精英队伍成员$\mathrm{XLk}$、$\mathrm{Poet}$_$\mathrm{shy}$和$\mathrm{lydrainbowcat}$拯救出来的的$\mathrm{applepi}$。看到两人对太鼓达人产生了兴趣，$\mathrm{applepi}$果断闪人，于是$\mathrm{cl}$拿起鼓棒准备挑战。然而即使是在普通难度下，$\mathrm{cl}$的路人本性也充分地暴露了出来。一曲终了，不但没有过关，就连鼓都不灵了。$\mathrm{Vani}$十分过意不去，决定帮助工作人员修鼓。
鼓的主要元件是$M$个围成一圈的传感器。每个传感器都有开和关两种工作状态，分别用$1$和$0$表示。显然，从不同的位置出发沿顺时针方向连续检查$K$个传感器可以得到$M$个长度为$K$的$01$串。$\mathrm{Vani}$知道这$M$个$01$串应该是互不相同的。而且鼓的设计很精密，$M$会取到可能的最大值。现在$\mathrm{Vani}$已经了解到了K的值，他希望你求出$M$的值，并给出字典序最小的传感器排布方案。

Input

一个整数$K$。

Output

一个整数$M$和一个二进制串，由一个空格分隔。表示可能的最大的$M$以及字典序最小的排布方案，字符$0$表示关，$1$表示开。你输出的串的第一个字和最后一个字是相邻的。

Sample Input

3

Sample Output

8 00010111

Hint

得到的$8$个$01$串分别是$000$、$001$、$010$、$101$、$011$、$111$、$110$和$100$。注意前后是相邻的。长度为$3$的二进制串总共只有$8$种，所以$M=8$一定是可能的最大值。
对于全部测试点，$2\le K\le11$。

Source

Poetize2

标签：欧拉回路

Solution

将$k-1$位二进制数看成点，$k$位二进制数看成边，连接$u,v$两点的边权就是$(u<<1)|v$。
例如$k=4$时，边$010\to 101$的权为$0101$，整个图如下：

（转载自 Clove_unique 的博客）
显然每个点的出度和入度均为$2$，一定存在欧拉回路，而欧拉回路一定会经过所有的边，即凑出所有$k$位二进制数。于是第一问答案为$2^k$，第二问在图上找出字典序最小的欧拉回路即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
template <class T> inline void read(T &x) {
    x = 0; int c = getchar(), f = 1;
    for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == 45) f = -1;
    for (; isdigit(c); c = getchar()) (x *= 10) += f*(c-'0');
}
int n, ans[2048]; bool mrk[2048];
bool DFS(int stp, int u) {
    if (stp >= (1<<n)) return true;
    int v = (u<<1)&((1<<n)-1);
    if (!mrk[v]) {
        mrk[v] = true;
        if (DFS(stp+1, v))
            return ans[stp] = 0, true;
        mrk[v] = false;
    }
    v = (u<<1|1)&((1<<n)-1);
    if (!mrk[v]) {
        mrk[v] = true;
        if (DFS(stp+1, v))
            return ans[stp] = 1, true;
        mrk[v] = false;
    }
    return false;
}
int main() {
    read(n), DFS(0, 0), printf("%d ", 1<<n);
    for (int i = 1; i < n; i++) putchar('0');
    for (int i = 0; i <= (1<<n)-n; i++)
        printf("%d", ans[i]);
    return puts(""), 0;
}