BZOJ3219 巡游 <二分答案+点分治+单调队列>

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Problem

巡游

Time  Limit:  25  Sec\mathrm{Time\;Limit:\;25\;Sec}
Memory  Limit:  128  MB\mathrm{Memory\;Limit:\;128\;MB}

Description

Tar\mathrm{Tar}国正在准备每年一次的巡游活动。国王将会在一个城市SS里召集人群，沿着城市间的道路进行游览，最终在一个城市TT里发表他每年一次的著名演讲。
Tar\mathrm{Tar}国有NN个城市，由于国家的特殊要求，每两个城市之间存在一条唯一的简单通路。国王希望借着这个机会视察Tar\mathrm{Tar}国的城市建设，因此他提出SS到TT的距离不能少于LL条道路。
同时，国王的私人医生检查了他的身体情况后，断定国王的身体不适合做长途旅行，因此他要求SS到TT的距离不能多于RR条道路。
另外，政府希望跟随国王的人民沿途不仅能看到城市风景，还能看到城市外的美丽乡村。因此每条道路定义了一个魅力值CiC_i，一条路径的魅力值定义为这条路径的中位数。更详细的说法是这样的：将路径上所有边的魅力值排序，得到序列{Ai}\lbrace A_i\rbrace。假设i=2k+c  (0≤c≤1)i=2k+c\;(0\le c\le 1)，中位数就是Ak+1A_{k+1}。
你的任务就是求出魅力值最大的路径，并输出这个魅力值。

Input

第一行是三个整数N,L,RN,L,R，表示Tar\mathrm{Tar}国的城市个数、路径的最小和最大长度。
接下来N−1N-1行，每行33个整数Ai,Bi,CiA_i,B_i,C_i，表示有一条连接AiA_i和BiB_i且魅力值CiC_i的道路。

Output

仅一行，表示最大的魅力值。如果不存在这样的路径，输出−1-1。

Sample Input

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5 1 4
1 2 1
1 3 4
3 4 7
3 5 2

Sample Output

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HINT

对于100%100\%的数据：N≤105N\le10^5，1≤L≤R≤N−11\le L\le R\le N-1，1≤Ci≤1091\le C_i\le10^9。

标签：点分治 二分答案 单调队列

Solution

稍有码量的点分题。

首先策略是二分答案+点分治验证二分答案+点分治验证，二分答案魅力值，将所有的边权变为11和−1-1，分别表示大于等于魅力值和小于魅力值。这样验证问题转化为判断是否有一条长度在[L,R][L,R]间路径使得边权和大于等于00。

这个判断过程可以用点分治实现。对于每个分治中心，只考虑经过其的路径。在其点分树的不同子树中找两个点，使得其到分治中心的路径长度和在[L,R][L,R]之间，可以用两个桶，分别存已枚举的子树和当前子树中各个深度的最大路径边权和，需要用单调队列维护一下。这部分有些细节需要注意。

此题卡常，注意一些减小常数的细节：

  • 二分答案时，将原边权记下来排序，在排好的数组上二分，这样只会二分到边权值
  • 一开始将点分树记下来，记录所有分治中心，这样每次二分checkcheck可以不用重新找重心
  • 点分时在当前分治中心统计答案时用BFS\mathrm{BFS}
  • 预处理点分时在当前分治中心BFS\mathrm{BFS}，若下一个点的距离大于RR则退出

Code

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#include <bits/stdc++.h>
#define MAX_N 100000
#define mid ((l+r)>>1)
using namespace std;
template <class T> inline void read(T &x) {
    x = 0; int c = getchar(), f = 1;
    for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == 45) f = -1;
    for (; isdigit(c); c = getchar()) (x *= 10) += f*(c-'0');
}
int n, m, L, R, rt, cnt, ind, tot, f[MAX_N+5], g[MAX_N+5];
int pr[MAX_N+5], sz[MAX_N+5], w[MAX_N+5], dfn[MAX_N+5];
int val[MAX_N+5], dep[MAX_N+5], d[MAX_N<<1], ord[MAX_N+5];
bool mrk[MAX_N+5], vis[MAX_N+5]; queue <int> que, bin;
struct edge {int v, c, w, nxt;} E[MAX_N<<1];
bool cmp(const int &x, const int &y) {return d[x] < d[y];}
void insert(int u, int v, int c) {E[cnt] = (edge){v, c, c, pr[u]}, pr[u] = cnt++;}
void addedge(int u, int v, int c) {insert(u, v, c), insert(v, u, c);}
void getrt(int u, int fa) {
    sz[u] = 1, w[u] = 0;
    for (int i = pr[u], v; ~i; i = E[i].nxt)
        if (((v = E[i].v) ^ fa) && !mrk[v])
            getrt(v, u), sz[u] += sz[v], w[u] = max(w[u], sz[v]);
    if ((w[u] = max(w[u], tot-sz[u])) < w[rt]) rt = u;
}
void init(int u) {
    int num = 0; dfn[++ind] = u, mrk[u] = true;
    for (int i = pr[u], v, mxd = 0; ~i; i = E[i].nxt, mxd = 0)
        if (!mrk[v = E[i].v]) {
            while (!que.empty()) que.pop();
            memset(vis, false, sizeof vis);
            que.push(v), dep[v] = 1, vis[v] = true;
            while (!que.empty()) {
                int p = que.front(); que.pop();
                if (dep[p] >= R) continue; mxd = max(mxd, dep[p]);
                for (int j = pr[p], q; ~j; j = E[j].nxt)
                    if (!mrk[q = E[j].v] && !vis[q])
                        que.push(q), dep[q] = dep[p]+1, vis[q] = true;
            }
            d[ord[++num] = i] = mxd;
        } else d[ord[++num] = i] = n;
    sort(ord+1, ord+num+1, cmp), pr[u] = ord[1];
    for (int i = 1; i < num; i++) E[ord[i]].nxt = ord[i+1];
    E[ord[num]].nxt = -1;
    for (int i = pr[u], v; ~i; i = E[i].nxt)
        if (sz[u] < sz[v = E[i].v]) sz[v] = tot-sz[u];
    for (int i = pr[u], v; ~i; i = E[i].nxt)
        if (!mrk[v = E[i].v] && sz[v] > L)
            w[rt = 0] = tot = sz[v], getrt(v, u), init(rt);
}
bool DFS(int stp) {
    if (stp > ind) return false;
    int u = dfn[stp], mxd = 0; f[0] = 0, mrk[u] = true;
    for (int i = pr[u], v; ~i; i = E[i].nxt)
        if (!mrk[v = E[i].v]) {
            int s = 1, t = 0;
            while (!que.empty()) que.pop();
            while (!bin.empty()) bin.pop();
            memset(vis, false, sizeof vis);
            for (int j = mxd; j >= L; d[++t] = j--)
                while (s <= t && f[d[t]] <= f[j]) t--;
            que.push(v), dep[v] = 1, g[v] = E[i].c, vis[v] = true;
            while (!que.empty()) {
                int p = que.front(); que.pop(), bin.push(p);
                while (s <= t && d[s]+dep[p] > R) s++;
                if (dep[p] <= L) {
                    while (s <= t && f[d[t]] <= f[L-dep[p]]) t--;
                    d[++t] = L-dep[p];
                }
                if (s <= t && f[d[s]]+g[p] >= 0) return true;
                if (dep[p] >= R) continue; mxd = max(mxd, dep[p]);
                for (int j = pr[p], q; ~j; j = E[j].nxt)
                    if (!mrk[q = E[j].v] && !vis[q])
                        que.push(q), dep[q] = dep[p]+1, 
                        g[q] = g[p]+E[j].c, vis[q] = true;
            }
            for (int x; !bin.empty(); bin.pop())
                x = bin.front(), f[dep[x]] = max(f[dep[x]], g[x]);
        }
    for (int i = 0; i <= mxd; i++) f[i] = -n;
    return DFS(stp+1);
}
bool chk(int tans) {
    for (int i = 0; i < cnt; i++)
        E[i].c = E[i].w < tans ? -1 : 1;
    for (int i = 0; i <= n; i++) f[i] = -n;
    memset(mrk, false, sizeof mrk);
    return DFS(1);
}
int bi_search(int l, int r) {
    int ret = -1;
    while (l <= r)
        if (!chk(val[mid])) r = mid-1;
        else ret = val[mid], l = mid+1;
    return ret;
}
int main() {
    read(n), read(L), read(R), memset(pr, -1, sizeof pr);
    for (int i = 1, u, v, c; i < n; i++)
        read(u), read(v), read(c), 
        addedge(u, v, c), val[i] = c;
    w[rt = 0] = tot = n, getrt(1, 0), init(rt);
    sort(val+1, val+n), m = (int)(unique(val+1, val+n)-val-1);
    return printf("%d\n", bi_search(1, m)), 0;
}